Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(

2

，0)，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F₁的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓C的伴隨圓相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P是橢圓C的伴隨圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（1）直接由橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(

2

，0)，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F₁的距離為

3

，求出，即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用對(duì)應(yīng)的判別式為0求出，進(jìn)而求出直線方程以及圓心到直線的距離；即可求弦MN的長(zhǎng)；
（3）先對(duì)直線l₁，l₂的斜率是否存在分兩種情況討論，然后對(duì)每一種情況中的直線l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)進(jìn)行求解即可證：l₁⊥l₂．（在斜率存在時(shí)，是先設(shè)直線方程，把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率為對(duì)應(yīng)方程的根來(lái)判斷結(jié)論）．

解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">c=

2

，a=

3

，所以b=1（12分）
所以橢圓的方程為

x2

3

+y2=1，
伴隨圓的方程為x²+y²=4．（4分）
（2）設(shè)直線l的方程y=x+b，由

y=x+b x2 3 +y2=1

得4x²+6bx+3b²-3=0
由△=（6b）²-16（3b²-3）=0得b²=4（6分）
圓心到直線l的距離為d=

|b|

2

=

2

所以|MN|=2

r2-d2

=2

2

（8分）
（3）①當(dāng)l₁，l₂中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)l₁無(wú)斜率，
因?yàn)閘₁與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為x=

3

或x=-

3

，
當(dāng)l₁方程為x=

3

時(shí)，此時(shí)l₁與伴隨圓交于點(diǎn)(

3

，1)，(

3

，-1)，
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

3

，1)（或

3

，-1)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=1（或y=-1），
即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為x=-

3

時(shí)，直線l₁，l₂垂直．（10分）
②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=k（x-x₀）+y₀，
由

y=kx+(y0-kx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3（kx+（y₀-kx₀））²-3=0，
即（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，（12分）
△=[6k（y₀-kx₀）]²-4•（1+3k²）[3（y₀-kx₀）²-3]=0，
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+1-y₀²=0，
因?yàn)閤₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，（14分）
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，因?yàn)閘₁，l₂與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以k₁，k₂滿足方程（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即l₁，l₂垂直．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題的能力和運(yùn)算能力．