Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+1）+$\frac{8}{3{x}^{2}+1}$，則不等式f（log₂x）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≥2的解集為（　　）

• A． （0，2]
• B． [$\frac{1}{2}$，2]
• C． [2，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 ∵f（-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²+1）+$\frac{8}{3{x}^{2}+1}$=f（x），∴f（x）為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，再通過(guò)換元法解題．

解答 解：∵f（-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x²+1）+$\frac{8}{3{x}^{2}+1}$=f（x），
∴f（x）為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
令t=log₂x，所以，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$=-t，
則不等式f（log₂x）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）≥2可化為：f（t）+f（-t）≥2，
即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，
又∵f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2+$\frac{8}{3+1}$=1，
且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，在R上為偶函數(shù)，
∴-1≤t≤1，即log₂x∈[-1，1]，
解得，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，涉及奇偶性和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題．