Question

某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率；
（Ⅱ）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值（如：組區(qū)間[100，110）的中點(diǎn)值為

100+110

2

=105．作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計(jì)本次考試的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，設(shè)在分?jǐn)?shù)段為[120，130）內(nèi)抽取的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意及頻率分布直方圖的性質(zhì)可知：分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率為1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3；
（II）由題意及平均數(shù)的定義可知估計(jì)平均分

.

x

 得數(shù)值；
（III）由題意，[110，120）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15=9（人）[120，130）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3=18（人）．用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，利用分層抽樣定義所以需在分?jǐn)?shù)段[110，120）內(nèi)抽取2人，在[120，130）內(nèi)抽取4人，則ξ的取值為0、1、2，利用古典概型隨機(jī)事件的概率公式即可求得其分布列及期望值．

解答：解：（Ⅰ）分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率為1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3．
（Ⅱ）估計(jì)平均分為

.

x

=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121．
（Ⅲ）由題意，[110，120）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15=9（人）[120，130）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3=18（人）．
∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本
∴需在分?jǐn)?shù)段[110，120）內(nèi)抽取2人，在[120，130）內(nèi)抽取4人，則ξ的取值為0、1、2，且P(ξ=0)=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

，P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

6

15

=

2

5

．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	2 5

Eξ=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

2

5

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了統(tǒng)計(jì)知識(shí)的分層抽樣定義，還考查了頻率分布直方圖及性質(zhì)，另外考查了古典概型隨機(jī)事件的概率公式及分布列，并利用分布列求出隨機(jī)變量的期望．