Question

已知a＞1，當(dāng)x∈[2，+∞）時，函數(shù)f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒為正．
（1）求a的取值范圍；
（2）記（1）中a的取值范圍為集合A，函數(shù)g（x）=㏒₂（tx²+2x-2）的定義域為集合B．若A∩B≠Φ，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a＞1，當(dāng)x∈[2，+∞）時，函數(shù)f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒為正可轉(zhuǎn)化成當(dāng)x∈[2，+∞）時，x²-ax+2＞1恒成立，然后將a分離出來，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式另一側(cè)的最值，從而求出a的取值范圍；
（2）由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞

2

x2

-

2

x

有屬于A的解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出不等式右側(cè)的最小值，即可求出t的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[2，+∞）時，x²-ax+2＞1恒成立
即當(dāng)x∈[2，+∞）時，a＜x+

1

x

恒成立；…（3分）
又因為函數(shù)x+

1

x

在[2，+∞）上是增函數(shù)，所以（x+

1

x

）_min=

5

2

，
∴1＜a＜

5

2

．…（6分）
（2）A=（1，

5

2

），B={x|tx²+2x-2＞0}．…（7分）
由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞

2

x2

-

2

x

有屬于A的解；
又1＜x＜

5

2

時，即

2

5

＜

1

x

＜1，…（10分）
所以

2

x2

-

2

x

=2（

1

x

-

1

2

）²-

1

2

∈[-

1

2

，0）．
故t＞-

1

2

．…（12分）

點評：本題主要考查了利用參數(shù)分離法求恒成立問題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．