Question

已知a＞1，當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒為正．
（1）求a的取值范圍；
（2）記（1）中a的取值范圍為集合A，函數(shù)g（x）=㏒₂（tx²+2x-2）的定義域?yàn)榧�合B．若A∩B≠Φ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x²-ax+2＞1恒成立
即當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，a＜x+恒成立；…
又因?yàn)楹瘮?shù)x+在[2，+∞）上是增函數(shù)，所以（x+）_min=，
∴1＜a＜．…
（2）A=（1，），B={x|tx²+2x-2＞0}．…
由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞-有屬于A的解；
又1＜x＜時(shí)，即＜＜1，…
所以-=2（-）²-∈[-，0）．
故t＞-．…
分析：（1）a＞1，當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒為正可轉(zhuǎn)化成當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x²-ax+2＞1恒成立，然后將a分離出來，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式另一側(cè)的最值，從而求出a的取值范圍；
（2）由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞-有屬于A的解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出不等式右側(cè)的最小值，即可求出t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用參數(shù)分離法求恒成立問題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．