Question

9．已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列．若對一切n∈N^*，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n總成立，則d+q=1．

Answer 1

分析 通過$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n計算可得$\frac{{{a}_{1}}^{2}+（2n-2）d{a}_{1}+n（n-2）lblpnd7^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+2（n-1）d+（n-1）^{2}td9vv3r^{2}}$恒為常數(shù)，比較可知d=0、q=1．

解答 解：∵$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}•\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=q$，
∴${a_{n+1}}•{a_{n-1}}=qa_n^2$，
∴$（{a_1}+nd）•（{a_1}+nd-2d）=q（{a_1}+nd-d）_{\;}^2$對n∈N^*恒成立，
所以q=$\frac{{（a}_{1}+nd）[{a}_{1}+（n-2）d]}{[{a}_{1}+（n-1）d]^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}+（2n-2）d{a}_{1}+n（n-2）jdpntfp^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+2（n-1）d+（n-1）^{2}rdjprpr^{2}}$，
由于q為常數(shù)，且n∈N^*，所以d=0、q=1，所以d+q=1．
故答案為：1．

點評 本題考查數(shù)列的相關(guān)知識，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．