Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）||x|-a|，a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=（x-2）||x|-3|，對x討論，去掉絕對值，再由二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性，即可得到所求增區(qū)間；
（Ⅱ）對x討論，去絕對值，再對a討論，分0＜a≤2，2＜a＜3時，3≤a＜8，a≥8，結(jié)合對稱軸和區(qū)間[-3，3]的關(guān)系，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=（x-2）||x|-3|，
當(dāng)x≥3時，f（x）=（x-2）（x-3）=x²-5x+6在[3，+∞）遞增；
當(dāng)0＜x＜3時，f（x）=（x-2）（3-x）=-x²+5x-6在（0，$\frac{5}{2}$]遞增；
當(dāng)-3＜x≤0時，f（x）=（x-2）（x+3）=x²+x-6在[-$\frac{1}{2}$，0]遞增；
當(dāng)x≤-3時，f（x）=（x-2）（-x-3）=-x²-x-6在（-∞，-3]遞增．
綜上可得，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-3]，[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，[3，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）（x-a），x≥a}\\{（x-2）（-x+a），0≤x≤a}\\{（x-2）（x+a），-a≤x＜0}\\{（x-2）（-x-a），x＜-a}\end{array}\right.$，
（1）若0＜a≤2，則f（x）_min=min{f（-3），f（0）}=min{-5|3-a|，-2a}，
當(dāng)-5|3-a|=-2a，解得a=$\frac{15}{7}$或a=5，
即當(dāng)0＜a≤2時，f（x）_min=-5（3-a）；
（2）若2＜a＜3時，f（x）_min=min{f（-3），f（$\frac{2-a}{2}$）}=min{-5|3-a|，-$\frac{（a+2）^{2}}{4}$}，
當(dāng)-5|3-a|=-$\frac{（a+2）^{2}}{4}$，解得a=10$\sqrt{2}$-12∈（2，3），
即f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-5（3-a），a∈（2，10\sqrt{2}-12）}\\{-\frac{（a+2）^{2}}{4}，a∈（10\sqrt{2}-12，3）}\end{array}\right.$，
（3）若-a≤-3＜$\frac{2-a}{2}$，即3≤a＜8時，f（x）_min=f（-$\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{（a+2）^{2}}{4}$，
（4）若$\frac{2-a}{2}$≤-3，則a≥8，f（x）_min=f（-3）=15-5a．
綜上可得，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{5a-15，a∈（0，10\sqrt{2}-12）}\\{-\frac{（a+2）^{2}}{4}，a∈[10\sqrt{2}-12，8）}\\{15-5a，a∈[8，+∞）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性和最值求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．