Question

15．已知點(diǎn)（-$\frac{π}{8}$，0）為函數(shù)f（x）=3sin（2x+φ）的一個(gè)對稱中心，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求φ的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值及f（x）取最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)對稱中心，代入即可得到相應(yīng)的φ=$\frac{π}{4}$，然后，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性確定其單調(diào)減區(qū)間；
（2）直接根據(jù)（1）的結(jié)果，利用正弦函數(shù)的圖象確定其最大值即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（-$\frac{π}{8}$，0）為函數(shù)f（x）=3sin（2x+φ）的一個(gè)對稱中心，
∴將點(diǎn)（-$\frac{π}{8}$，0）代入f（x）=3sin（2x+φ）得，
3sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，
（2）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，該函數(shù)取得最大值為：3．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)單調(diào)性與最值問題的處理思路和方法，屬于中檔題．