如圖，點(diǎn)F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對(duì)于x軸上的點(diǎn)P（t，0），橢圓W上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥AQ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N異于橢圓的左右頂點(diǎn)），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（Ⅰ）由e=
c
a
=
1
2
，即a=2c，得b=
a2-c2
=
3
c，
∴S△ABF=
1
2
(a+c)•b=
3
3
2
c2=
3
3
2
，解得c2=1，∴a2=4c2=4，b2=a2-c2=3，
∴橢圓W的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；…（3分）
（Ⅱ）A（2，0），P（t，0），設(shè)Q（x，y），則
x2
4
+
y2
3
=1，
PQ
=(x-t，y)，
AQ
=(x-2，y)，
∵
PQ
⊥
AQ
，∴（x-t）（x-2）+y2=0，∴(x-t)(x-2)+3(1-
x2
4
)=0，…（5分）
∵-2＜x＜2，∴x-t-
3(2+x)
4
=0，即t=
x-6
4
∈(-2，-1)；…（7分）
（Ⅲ）證明：聯(lián)立
y=kx+m
3x2+4y2=12
消y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜3+4k2，x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
，…（9分）
AM
=(x1-2，y1)，
AN
=(x2-2，y2)，
若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點(diǎn)A，則
AM
•
AN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
即（x1-2）（x2-2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，…（11分）
展開整理得：x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
即
4m2-12
3+4k2
-2(-
8km
3+4k2
)+4+k2(
4m2-12
3+4k2
)+km(-
8km
3+4k2
)+m2=0，
通分化簡得
7m2+16km+4k2
3+4k2
=0，即7m2+16km+4k2=0，
分解得（7m+2k）（m+2k）=0，得7m+2k=0或m+2k=0，即m=-
2k
7
或m=-2k，
當(dāng)m=-
2k
7
時(shí)，直線y=kx+m=k(x-
2
7
)，即直線過定點(diǎn)(
2
7
，0)
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線y=kx+m=k（x-2），即直線過定點(diǎn)（2，0），但與右頂點(diǎn)A重合，舍去，
綜合知：直線l過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(
2
7
，0)．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線y=kx與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右兩支都有交點(diǎn)的充要條件是k∈（-1，1），且該雙曲線與直線y=
1
2
x-
3
2
相交所得弦長為
4
15
3
，則該雙曲線方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-1，0），已知橢圓E上的一點(diǎn)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的右焦點(diǎn)F2作一條傾斜角為
π
4
的直線交橢圓于C、D，求△CDF1的面積；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點(diǎn)M、N，求證∠MBP為銳角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為
5
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-
1
2
，求斜率k的值；
②已知點(diǎn)M(-
7
3
，0)，求證：
MA
•
MB
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長等于12，離心率為
1
3
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)做y軸垂線段PQ，Q為垂足，當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線x=ky+3與雙曲線
x2
9
-
y2
4
=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值有（　　）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無數(shù)多個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫圖）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，準(zhǔn)線為l，過該拋物線上異于頂點(diǎn)O的任意一點(diǎn)A作AA1⊥l于點(diǎn)A1，以線段AF，AA1為鄰邊作平行四邊形AFCA1，連接直線AC交l于點(diǎn)D，延長AF交拋物線于另一點(diǎn)B．若△AOB的面積為S△AOB，△ABD的面積為S△ABD，則
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)x1=2，x2=
1
3
，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)T在點(diǎn)P的軌跡上運(yùn)動(dòng)，問直線MN是否經(jīng)過x軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由．

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