Question

17．已知f（x）=cosx，x∈（$\frac{π}{2}，3π$），若函數(shù)G（x）=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，且這三個(gè)零點(diǎn)從小到大依次成等比數(shù)列，則m的值等于-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象，設(shè)出g（x）三個(gè)不同的零點(diǎn)為kα、k²α、k³α（α是角度），
列出方程組，求出對(duì)應(yīng)k、α的值，從而得出m的值．

解答 解：∵f（x）=cosx，x∈（$\frac{π}{2}，3π$），
∴-1≤f（x）≤1，
畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示；
當(dāng)函數(shù)G（x）=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，且這三個(gè)零點(diǎn)從小到大依次成等比數(shù)列時(shí)，
結(jié)合圖象，設(shè)三個(gè)不同的零點(diǎn)分別為kα、k²α、k³α（α是角度），
∴kα+k²α=2π…①，
k²α+k³α=4π…②；
由①②解得k=2，α=$\frac{2π}{3}$；
∴m的值等于-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了等比中項(xiàng)以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．