Question

17．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且對于任意的x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，則g（2014）的值為-2008．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式關(guān)系f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，得到f（x+5）=f（x），從而得到函數(shù)的周期為5，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：∵f（x+1）≤f（x）+1，
∴f（x+5）≤f（x+4）+1≤f（x+3）+2≤f（x+2）+3≤f（x+1）+4≤f（x）+5，
而f（x+5）≥f（x）+5，
∴f（x+5）=f（x），此時等號同時成立，
即f（x+5）=f（x+4）+1=f（x+3）+2=f（x+2）+3=f（x+1）+4=f（x）+5，
則函數(shù)f（x）的周期為5，
∵g（x）=f（x）+1-x，
∴g（2014）=f（2014）+1-2014=f（2014）-2013，
∵f（1）=1，
∴f（2014）=f（4+40×5）=f（4），
∵f（1）+5=f（2）+4=f（3）+3=f（4）+2，
∴1+5=f（4）+2，
即f（4）=4．
則f（2014）=f（4）=4，
則g（2014）=f（2014）-2012=4-2012=-2008，
故答案為：-2008

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)不等式的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．