Question

已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求PC與平面PAB所成角的大�。�
（2）求異面直線PE與AC所成角的大��；
（3）求二面角A-PB-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由BC⊥AB，BC⊥PA，知PC與平面PAB所成的角為∠PCB，由此能求出PC與平面PAB所成角的大�。�
（2）連結(jié)AC，過E作EG∥AC，交BC于G，則∠PGC就是異面直線PE與AC所成角，由此能求出異面直線PE與AC所成角為45°．
（3）取PB的中點(diǎn)點(diǎn)H，連結(jié)AH，HF，AF，則二面角A-PB-C的平面角為∠AHF，由此能求出二面角A-PB-C的大小．

解答： 解：（1）∵BC⊥AB，BC⊥PA，
∴PC與平面PAB所成的角為∠PCB，
∵PA=AB=4，∴PB=4

2

，
∵BC=4，∴PC=4

3

，
∴sin∠PCB=

6

3

，∴∠PCB=arcsin

6

3

．
∴PC與平面PAB所成角的大小為arcsin

6

3

．
（2）連結(jié)AC，過E作EG∥AC，交BC于G，
則∠PGC就是異面直線PE與AC所成角，
∵PE=

42+22

=2

5

，EG=

4 2

2

=2

2

，
PG=

42+42+22

=6，
∴cos∠PGC=

36+8-20

2•6•2 2

=

2

2

，∴∠PGC=45°．
∴異面直線PE與AC所成角為45°．
（3）取PB的中點(diǎn)點(diǎn)H，連結(jié)AH，HF，AF，
∵AH⊥PB，HF⊥PB，
∴二面角A-PB-C的平面角為AHF，
∵AH=

4 2

2

=2

2

，HF=

4

2

=2，AF=

4 3

2

=2

3

，
cos∠AHF=

8+4-12

2•2 2 •2

=0，∴∠AHF=90°．
∴二面角A-PB-C的大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．