Question

（2012•濰坊二模）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=sinx；④f（x）=log₂x+1．
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)“等值區(qū)間”的定義，要想說明函數(shù)存在“等值區(qū)間”，只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“等值區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：解：①對于函數(shù)f（x）=2^x，若存在“等值區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有2^a=a，2^b=b，
即方程2^x=x有兩個(gè)解，即y=2^x和y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與y=2^x和y=x的圖象沒有公共點(diǎn)相矛盾，故①不存在
“等值區(qū)間”．
②對于函數(shù)f（x）=x³存在“等值區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³∈[0，1]．
③對于函數(shù)f（x）=sinx，若正弦函數(shù)存在等值區(qū)間[a，b]，則在區(qū)間[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函數(shù)的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在區(qū)間]⊆[-1，1]上僅有sin0=0，所以函數(shù)f（x）=sinx沒有“等值區(qū)間”；
④對于 f（x）=log₂x+1，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在區(qū)間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數(shù)存在“等值區(qū)間”[1，2]．
故選B

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，考查了函數(shù)的值域，在說明一個(gè)函數(shù)沒有“等值區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新題．