精英家教網(wǎng)如圖,點(diǎn)F(a,0)(a>0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N為動(dòng)點(diǎn),且
PM
PF
=0,
PN
+
PM
=
0

(1)求點(diǎn)N的軌跡C;
(2)過(guò)點(diǎn)F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)K(-a,0),
KA
KB
的夾角為θ,求證0<θ<
π
2
分析:(1)先設(shè)點(diǎn)N(x,y),然后可以得到向量
PM
、
PF
,進(jìn)而根據(jù)
PN
+
PM
=
0
、
PM
PF
=0
可得答案.
(2)先設(shè)出直線方程,然后和(1)中所求的軌跡方程聯(lián)立得到兩根之和與兩根之積,進(jìn)而由
KA
KB
>0
得到答案.
解答:解:(1)設(shè)N(x,y)∵
PN
+
PM
=
0

∴M(-x,0),P(0,
y
2
PM
=(-X,-
y
2
),
PF
=(a,-
y
2

PM
PF
=0
PM
PF
=-ax+
y2
4
=0
∴y2=4ax

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
∴直線l:y=k(x-a)
KA
=(x1+a,y1
KB
=(x2+a,y2
聯(lián)立
y=k(x-a)
y2=4ax
∴ky2-4ay-4ka2=0
y1+y2=
4a
k
,y1y2=-4a2,x1x2=a2,x1+x2=
2a(k2+2)
k2

KA
KB
=(x1+a)(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2
=2a2+
2a2(k2+2)
k2
-4a2=
2a2(k2+2)
k2
-2a2=2a2(1+
2
k2
-1)
=
4a2
k2
>0
∴cosθ>0∵θ∈[0,π]∴θ∈(0,
π
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題.在解決圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí),一般都是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程求出兩根之和與兩根之積,然后 根據(jù)題意解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•焦作一模)已知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(
π
4
,-
1
2
),它的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=Acos(ωx+φ)(x∈R)的圖象的一部分如圖所示,其中A>0,ω>0,|φ|<
π
2
,為了得到函
數(shù)f(x)的圖象,只要將函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,點(diǎn)F是橢圓W:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn),A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),橢圓的離心率為
1
2
,三角形ABF的面積為
3
3
2
,
(Ⅰ)求橢圓W的方程;
(Ⅱ)對(duì)于x軸上的點(diǎn)P(t,0),橢圓W上存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥AQ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)M、N (M、N異于橢圓的左右頂點(diǎn)),若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓W的右頂點(diǎn)A,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:《第2章 圓錐曲線與方程》2013年單元測(cè)試卷(3)(解析版) 題型:解答題

如圖,點(diǎn)F(a,0)(a>0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N為動(dòng)點(diǎn),且
(1)求點(diǎn)N的軌跡C;
(2)過(guò)點(diǎn)F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)K(-a,0),的夾角為θ,求證

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(第8章 圓錐曲線):8.10 向量在解析幾何中的應(yīng)用(解析版) 題型:解答題

如圖,點(diǎn)F(a,0)(a>0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N為動(dòng)點(diǎn),且
(1)求點(diǎn)N的軌跡C;
(2)過(guò)點(diǎn)F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)K(-a,0),的夾角為θ,求證

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案