Question

如圖所示，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，AF//DE,DE=2AF，BE與平面ABCD所成角的正切值為．

（1）求證：AC//平面EFB；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

（1）見解析；（2）二面角的大小為．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)AC、BD交于O，取EB的中點(diǎn)G．連結(jié)FG，GO．

在△BDE中，OG∥DE且OG＝DE，F(xiàn)A∥DE且FA＝DE，∴OG∥FA且OG＝FA,

∴四邊形FAOG為平行四邊形． 2分

∴FG∥AO，又AG平面EFB，F(xiàn)G平面EFB，

∴直線AC∥平面EFB； 4分

（2）∵DE⊥平面ABCD，∴BE與平面ABCD所成角就是∠DBE．

又BE與平面ABCD所成的角的正切值為，∴，而BD＝，∴DE＝2． 6分

分別以DA、DC、DE所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則有A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，－2，1），＝（－2，－2，2），

設(shè)平面AEB的法向量為，則，即 ，

令，可得＝（1，0，1）， 9分

設(shè)平面FBE的法向量為，，則 ，

令，可得 ＝（1，1，2）， 11分

設(shè)二面角F-BE-A的大小為 ，，

∴二面角的大小為． 12分

考點(diǎn)：考查了直線與平面平行的判定，二面角的大�。�