Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線l：θ=

π

4

與曲線C：

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數(shù)），相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）寫出射線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)系方程；
（2）求線段AB的中點(diǎn)極坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）先把射線l的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，再消去消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立方程組，求得直線和曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，可得線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再把它化為極坐標(biāo)．

解答： 解：（1）射線l：θ=

π

4

的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0），化為參數(shù)方程為

x= 2 2 t y= 2 2 t

 （t為參數(shù)，且t≥0）．
把曲線C：

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為y=（x-2）²．
（2）聯(lián)立

y=x y=(x-2)2

，求得

x=1 y=1

，或

x=4 y=4

，∴A（1，1），B（4，4），
故AB的中點(diǎn)為（

5

2

，

5

2

），化為極坐標(biāo)為（

5 2

2

，

π

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)間的互化，求曲線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．