【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系上放置一個邊長為1的正方形,此正方形沿軸滾動(向左或向右均可),滾動開始時,點位于原點處,設(shè)頂點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,,該函數(shù)相鄰兩個零點之間的距離為.
(1)寫出的值并求出頂點到的最小運動路徑的長度的值;
(2)寫出函數(shù),,的表達(dá)式;并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)(無需證明).
【答案】(1),;(2)函數(shù),,
奇偶性:偶函數(shù);遞增區(qū)間:,;遞減區(qū)間,;零點:,.
【解析】
(1)畫出點的運動軌跡,即可得出與的值.
(2)根據(jù)所畫的點的運動軌跡,即可寫出函數(shù),,的表達(dá)式與函數(shù)的基本性質(zhì).
(1)點的運動軌跡如圖所示:
因為正方形的周長為4,所以.
當(dāng),點運動路徑的長度
(2) 當(dāng),時,其為以為圓心,為半徑的圓在的部分,即.
當(dāng),時,其為以為圓心,為半徑的圓在的部分,即
當(dāng),時,其為以為圓心,為半徑的圓在的部分,即.
當(dāng),時,其為以為圓心,為半徑的圓在的部分,即.
所以函數(shù),,
由圖可知:
奇偶性:偶函數(shù);遞增區(qū)間:,;遞減區(qū)間,;零點:,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲線的右焦點分別為,短袖長為,點在曲線上,直線上,且.
(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試通過計算判斷直線與曲線公共點的個數(shù).
(3)若點在都在以線段為直徑的圓上,且,試求的取值范圍.
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【題目】對于函數(shù)、、,如果存在實數(shù)、使得,那么稱為、的生成函數(shù).
(1)若,,,則是否分別為、的生成函數(shù)?并說明理由;
(2)設(shè),,,,生成函數(shù),若不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),取,,生成函數(shù)圖象的最低點坐標(biāo)為,若對于任意正實數(shù)、且,試問是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點時,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)、滿足關(guān)系,其中是常數(shù).
(1)設(shè),,求的解析式;
(2)是否存在函數(shù)及常數(shù)()使得恒成立?若存在,請你設(shè)計出函數(shù)及常數(shù);不存在,請說明理由;
(3)已知時,總有成立,設(shè)函數(shù)()且,對任意,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點,求實數(shù)的取值范圍,并判斷是在內(nèi)的極大值點還是極小值點.
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【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表:平均每天喝500以上為常喝,體重超過50為肥胖.
常喝 | 不常喝 | 合計 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
合計 | 30 |
已知在全部30人中隨機抽取1人,抽到肥胖的學(xué)生的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否有的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?說明你的理由;
(3)已知常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中有2名女生,現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生抽取2人參加電視節(jié)目,則正好抽到一男一女的概率是多少?
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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