Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1．

（1）求實數(shù)、的值；

（2）記，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）對于函數(shù)，用，1，2，，，將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，若存在常數(shù)，使得和式對任意的劃分恒成立，則稱函數(shù)為上的有界變差函數(shù)．記，試判斷函數(shù)是否為在上的有界變差函數(shù)？若是，求的最小值；若不是，請說明理由．

（參考公式：

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）是，6.

【解析】

（1）由已知中在區(qū)間的最大值為4，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，構(gòu)造出關(guān)于，的方程組，解得，的值；

（2）由的解析式可得的解析式，討論的符號結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和單調(diào)性可得的范圍；

（3）根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間進行劃分，進而判斷是否恒成立，進而得到結(jié)論．

（1）函數(shù)，因為，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

又函數(shù)故在區(qū)間，上的最大值為4，最小值為1，

，即，

解得，；

（2）由已知可得，

，

若在上是單調(diào)函數(shù)，

若，即，由兩個增函數(shù)的和還是增函數(shù)，易得函數(shù)在遞增；

若，函數(shù)為對勾函數(shù)，結(jié)合圖象可知：在遞增；

或，解得：或.

綜上所述：或.

（3）函數(shù)為上的有界變差函數(shù)．

因為函數(shù)為遞增，遞減，上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且對任意劃分，

有

恒成立，①

且對任意劃分，

有，

恒成立，②

且對任意劃分，

有，

恒成立，③

由①②③可得，

存在常數(shù)，使得恒成立，的最小值為6．