Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F分向量所成的比為2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．依題意知c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分），由此可知所求橢圓方程為．
（Ⅱ）若直線l的斜率k不存在，則不滿足|AF|=2|FB|．當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1．因?yàn)橹本�l過橢圓的焦點(diǎn)F（0，1），所以k取任何實(shí)數(shù)，直線l與橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．（1分）
依題意，，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分）
∴所求橢圓方程為．（4分）
（Ⅱ）若直線l的斜率k不存在，則不滿足|AF|=2|FB|．
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1．因?yàn)橹本�l過橢圓的焦點(diǎn)F（0，1），所以k取任何實(shí)數(shù)，直線l與橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．（6分）
∴，①，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∵，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．（8分）
將x₁=-2x₂代入①、②，得，③，④（10分）
由③、④得，=，化簡(jiǎn)得=，
解得，；
∴直線l的方程為：．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．