Question

8．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≤0}\\{\frac{x}{3a}+\frac{y}{4a}≤1（a＜0）}\end{array}\right.$，若z=$\frac{y-1}{x-1}$的最小值為（x²-$\frac{1}{{x}^{3}}$）⁵的展開式的常數(shù)項(xiàng)的$\frac{1}{40}$，則實(shí)數(shù)a值為-1．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)展開式的內(nèi)容，求出常數(shù)項(xiàng)，即目標(biāo)函數(shù)的最小值，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解．

解答 解：（x²-$\frac{1}{{x}^{3}}$）⁵的展開式的通項(xiàng)公式為${T}_{k+1}={C}_{5}^{k}（{x}^{2}）^{5-k}•（-\frac{1}{{x}^{3}}）^{k}$=${C}_{5}^{k}（-1）^{k}$•x^10-2k-3k，
由10-2k-3k=0解得k=2，
即展開式的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{5}^{2}（-1）^{2}$=10．
則z=$\frac{y-1}{x-1}$的最小值為10×$\frac{1}{40}$=$\frac{1}{4}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域由圖象知，
到A（3a，0）到定點(diǎn)E（1，1）的斜率最小，
此時k=$\frac{-1}{3a-1}=\frac{1}{4}$，
即3a-1=-4，3a=-3，
解得a=-1，
故答案為：-1

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容求出目標(biāo)函數(shù)的最小值，以及結(jié)合數(shù)形結(jié)合，利用兩點(diǎn)的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．