Question

【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)恰為點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率及橢圓過點(diǎn)，列出關(guān)于的方程求解即可；

（2）設(shè)P（xP，yP），Q（xQ，yQ），將兩點(diǎn)代入橢圓方程，進(jìn)而兩式作差可得，進(jìn)而由點(diǎn)斜式可得解.

（1）因?yàn)?/span>e＝＝＝，則3a2＝4b2，

將（1，）代入橢圓方程： +＝1，解得：a＝2，b＝，

所以橢圓方程為+＝1；

（2）設(shè)P（xP，yP），Q（xQ，yQ），

∵線段PQ的中點(diǎn)恰為點(diǎn)N，

∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1， +＝1，兩式相減可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，

∴＝﹣，

即直線PQ的斜率為﹣，

∴直線PQ的方程為y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.