【題目】如圖,已知四棱錐P—ABCD,底面ABCD是邊長為4的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.

(Ⅰ)求證:AEPD;

(Ⅱ)若PA=4,求二面角E—AF—C的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)通過證明PAAEAEAD,可證得AE⊥平面PAD,從而得證;

(Ⅱ)以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,分別求面AEF和面AFC的法向量,利用法向量求解二面角即可.

(Ⅰ)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.

因為EBC的中點,所以AEBC.又BCAD,因此AEAD

因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE

PA平面PAD,AD平面PADPAAD=A,

所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.所以 AEPD

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AE、ADAP兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則A0,0,0),B2,—2,0),C2,2,0),D0,4, 0),P0,04),E2,00),F),

所以=2,0,0),=(

設平面AEF的法向量為=),

,因此

,則=0,2—1),

因為BDAC,BDPAPAAC=A,所以BD⊥平面AFC,故為平面AFC的法向量.

—2,6,0),所以cos<,=

因為二面角E—AF—C為銳角,所以所求二面角的余弦值為

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評分

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②直線與該正方體各面所成角相等;

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④垂直于直線的平面截該正方體,所得截面可能為五邊形,

其中正確結(jié)論的序號為( 。

A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①②③

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