Question

19．設$\overline{z}$為復數(shù)z的共軛復數(shù)，滿足|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$．
（1）若z為純虛數(shù)，求z；
（2）若z-$\overline{z}$²為實數(shù)，求|z|．

Answer 1

分析 （1）設z=bi，b∈R，則$\overline{z}$=-bi，利用|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，求出b，然后求解復數(shù)z．
（2）設z=a+bi，（a，b∈R），則$\overline{z}$=a-bi，利用|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，求出|b|=$\sqrt{3}$，化簡z-$\overline{z}$²，通過z-$\overline{z}$²為實數(shù)，求出a，然后求解|z|．

解答 解：（1）設z=bi，b∈R，則$\overline{z}$=-bi，
因為|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，則|2bi|=2$\sqrt{3}$，即|b|=$\sqrt{3}$…（4分）
所以b=$±\sqrt{3}$，所以z=$±\sqrt{3}i$…（6分）
（2）設z=a+bi，（a，b∈R），則$\overline{z}$=a-bi，
因為|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，則|2bi|=2$\sqrt{3}$，即|b|=$\sqrt{3}$．…（7分）
z-$\overline{z}$²=a+bi-（a-bi）²=a-a²+b²+（b+2ab）i．
因為z-$\overline{z}$²為實數(shù)，所以b+2ab=0…（10分）
因為|b|=$\sqrt{3}$，所以a=$-\frac{1}{2}$，…（12分）
所以|z|=$\sqrt{{（-\frac{1}{2}）}^{2}+{（±\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$…（14分）

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的模的求法，共軛復數(shù)的應用，考查計算能力．