Question

12．下列不等式中，不能恒成立的一個是（　�。�

• A． $\frac{{{x^2}+{y^2}}}{2}≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$
• B． ${x^2}+2≥2\sqrt{{x^2}+1}$
• C． （a²+1）（b²+1）＞（ab+1）²
• D． |a+b|-|a-b|≤2|b|

Answer 1

分析 變形為$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$$-（\frac{x+y}{2}）$²=（$\frac{x-y}{2}$）²≥0，（x=y等號成立）x²+2=（x²+1）+1$≥2\sqrt{{x}^{2}+1}$（x=0時等號成立），（a²+1）（b²+1）≥（ab+1）²（a=b時等號成立）
利用等號成立問題，可以判斷選項．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$$-（\frac{x+y}{2}）$²=（$\frac{x-y}{2}$）²≥0，（x=y等號成立）
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥（$\frac{x+y}{2}$）²（x=y等號成立），
∴x²$+2≥2\sqrt{{x}^{2}+1}$恒成立．
∵（a²+1）（b²+1）=a²b²+a²+b²+1，
（ab+1）²=a²b²+2ab+1，
a²+b²≥2ab（a=b時等號成立）
∴（a²+1）（b²+1）≥（ab+1）²（a=b時等號成立）
故可以判斷C選項不恒成立，
故選：C．

點評 本題考察了基本不等式的運用，判斷不等式成立問題，屬于中檔題，關(guān)鍵看等號．