【題目】已知橢圓C1 , 拋物線C2的焦點均在x軸上,C1的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上各取兩個點,其坐標分別是(3,一2 ),(一2,0),(4,一4),( ). (Ⅰ)求C1 , C2的標準方程;
(Ⅱ)是否存在直線L滿足條件:①過C2的焦點F;②與C1交與不同的兩點M,N且滿足 ?若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)設拋物線C2:y2=2px(p≠0),
則有 ,x≠0,
據(jù)此驗證4個點知(3,﹣2 ),(4,﹣4)在拋物線上,
∴C2:y2=4x,
設C1: ,(a>b>0),
把點(﹣2,0),( , )代入,得:
,解得 ,
∴ 的方程為: .
(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時,
直線l的方程為x=1,直線l交拋物線于M(1, ),N(1,﹣ ),
≠0,不滿足題意,
當直線l的斜率存在時,假設存在直線l,過拋物線焦點F(1,0),
設其方程為y=k(x﹣1),與C1的交點坐標為M(x1,y1),N(x2,y2),
由 ,消去y并整理,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,
∴ , ,①
y1y2=k(x1﹣1)k(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1],
∴ =﹣ ,②
由 ,即 =0,得x1x2+y1y2=0,
將①,②代入(*)式,得 = ,
解得k=±2,
∴存在直線l滿足條件,且l的方程為2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0
【解析】(Ⅰ)設拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有 ,≠0,由此能求出C2:y2=4x,設C1: ,(a>b>0),由題意得 ,由此能求出 的方程為: .(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,直線l交拋物線于M(1, ),N(1,﹣ ), ≠0,不滿足題意,當直線l的斜率存在時,假設存在直線l,過拋物線焦點F(1,0),設其方程為y=k(x﹣1),與C1的交點坐標為M(x1,y1),N(x2,y2),由 ,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線l的方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于定義域分別是A,B的函數(shù), ,規(guī)定:
現(xiàn)給定函數(shù)
(1) 若,寫出函數(shù)的解析式;
(2) 當時,求問題(1)中函數(shù)的值域;
(3) 請設計一個函數(shù),使得函數(shù)為偶函數(shù)且不是常數(shù)函數(shù),并予以證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某同學用“五點法”畫函數(shù) 在某一周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如下表:
0 | |||||
0 | 2 | 0 | 0 |
(Ⅰ)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,函數(shù)的解析式(直接寫出結果即可)
(Ⅱ)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;/span>
(Ⅲ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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【題目】在中學生綜合素質評價某個維度的測評中,分“優(yōu)秀、合格、尚待改進”三個等級進行學生互評.某校高一年級有男生500人,女生400人,為了了解性別對該維度測評結果的影響,采用分層抽樣方法從高一年級抽取了45名學生的測評結果,并作出頻數(shù)統(tǒng)計表如下: 表1:男生表2:女生
等級 | 優(yōu)秀 | 合格 | 尚待改進 | 等級 | 優(yōu)秀 | 合格 | 尚待改進 | |
頻數(shù) | 15 | x | 5 | 頻數(shù) | 15 | 3 | y |
(1)從表二的非優(yōu)秀學生中隨機選取2人交談,求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率;
(2)由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下邊2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“測評結果優(yōu)秀與性別有關”.
男生 | 女生 | 總計 | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計 |
參考數(shù)據(jù)與公式:
K2= ,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:
P(K2>k0) | 0.05 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市由甲、乙兩家乒乓球俱樂部,兩家設備和服務都很好,但收費方式不同,甲家每張球臺每小時5元;乙家按月計費,一個月中小時以內(nèi)(含小時)每張球臺元,超過小時的部分每張球臺每小時元.某公司準備下個月從兩家中的一家租一張球臺開展活動,活動時間不少于小時,也不超過小時,設在甲家租一張球臺開展活動小時的收費為元,在乙家租一張球臺開展活動小時的收費為元.
(1)試分別寫出與的解析式;
(2)選擇哪家比較合算?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設△ABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且 .
(1)若 ,求△ABC的面積;
(2)若 , ,且c>b,BC邊的中點為D,求AD的長.
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【題目】若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,﹣1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】給出下面三個類比結論:
①向量 ,有| |2= 2;類比復數(shù)z,有|z|2=z2
②實數(shù)a,b有(a+b)2=a2+2ab+b2;類比向量 , ,有( )2= 2 2
③實數(shù)a,b有a2+b2=0,則a=b=0;類比復數(shù)z1 , z2 , 有z12+z22=0,則z1=z2=0
其中類比結論正確的命題個數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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