Question

3．已知$\underset{lim}{x→2}$$\frac{{x}^{2}+cx+2}{x-2}$=a，且函數(shù)y=alnx+$\frac{x}$+c在（1，e）上具有單調(diào)性，則b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]∪[e，+∞）
• B． （-∞，0）∪[e，+∞）
• C． （-∞，e]
• D． [1，e]

Answer 1

分析 先由$\underset{lim}{x→2}$$\frac{{x}^{2}+cx+2}{x-2}$=a，求得a=1，c=-3，從而得到y(tǒng)=alnx+$\frac{x}$+c=lnx+$\frac{x}$-3，再由“函數(shù)y=alnx++c在（1，e）上具有單調(diào)性”轉(zhuǎn)化為“y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$≥0或y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$≤0在（1，e）上恒成立”，再令t=$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{e}$，1）轉(zhuǎn)化為-bt²+t≥0或-bt²+t≤0在（$\frac{1}{e}$，1）上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：∵$\underset{lim}{x→2}$$\frac{{x}^{2}+cx+2}{x-2}$=a，
∴a=1，c=-3，
∴y=alnx+$\frac{x}$+c=lnx+$\frac{x}$-3
∵函數(shù)y=alnx+$\frac{x}$+c在（1，e）上具有單調(diào)性
∴y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$≥0或y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$≤0在（1，e）上恒成立
∴令t=$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{e}$，1）
∴-bt²+t≥0或-bt²+t≤0
∴b≤1或b≥e
故選：A．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．