Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M為棱DD₁上一點(diǎn)
（1）求三棱錐A-MCC₁的體積；
（2）當(dāng)A₁M+MC取得最小值時(shí)，求AM與A₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由圖形直接求出三棱錐的底面積和高，代入體積公式求解；
（2）利用側(cè)面展開(kāi)分析可得當(dāng)A₁M+MC取得最小值時(shí)，M為DD₁的中點(diǎn)，然后以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系后利用空間向量求AM與A₁C所成角的余弦值．

解答：解：（1）如圖，

點(diǎn)M到直線CC₁的距離等于CD=1，則三角形MCC₁面積S=

1

2

×2×1=1．
點(diǎn)A到平面MCC₁的距離為AD=1，則三棱錐A-MCC₁的體積V=

1

3

S•AD=

1

3

×1×1=

1

3

．
（2）當(dāng)A₁M+MC取得最小值時(shí)，M為DD₁的中點(diǎn)．
在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以AB、AD、AA₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
如圖，

則A（0，0，0），M（0，1，1），A₁（0，0，1），C（1，1，0）．
所以

AM

=(0，1，1)，

A1C

=(1，1，-1)．
所以cos＜

AM

，

A1C

＞=

0×1+1×1-1×1

2 • 3

=0．
所以

AM

⊥

A1C

，則AM與A₁C所成角的余弦值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了錐體的體積，考查了利用空間向量求異面直線所成的角，關(guān)鍵是建立正確的右手系，是中檔題．