Question

已知x₁，x₂，x₃，…，x_n∈（0，+∞）．
若x₁+x₂=1，則y=

x1+1

+

x2+1

的最大值為

6

；
若x₁+x₂+x₃=1，則y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

的最大值為

12

；

若x₁+x₂+x₃+x₄=1，則y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

+

x4+1

的最大值為

20

；
…
若x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，則y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

+…+

xn+1

的最大值為

n(n+1)

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的等式，觀察可得對(duì)于x₁+x₂+x₃+…+x_k=1中，若左式為k項(xiàng)，則y的最大值與其項(xiàng)數(shù)有關(guān)，為

k(k+1)

，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，分析可得：
若x₁+x₂=1，即左式為2項(xiàng)，則y=

x1+1

+

x2+1

的最大值為

2(2+1)

=

6

，
若x₁+x₂+x₃=1，即左式為3項(xiàng)，則y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

的最大值為

3(3+1)

=

12

，
歸納可得，
于x₁+x₂+x₃+…+x_k=1中，若左式為k項(xiàng)，則y=

x1+1

+

x2+1

+…+

xk+1

的最大值與其項(xiàng)數(shù)有關(guān)，為

k(k+1)

，
那么，若x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，則y=

x1+1

+

x2+1

+

x3+1

+…+

xn+1

的最大值為

n(n+1)

；
故答案為

n(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)等式x₁+x₂+x₃+…+x_k=1中，左式的項(xiàng)數(shù)與y的最大值的關(guān)系．