Question

【題目】如圖，幾何體是四棱錐，△為正三角形，.

(1)求證：；

(2)若∠，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：∥平面.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) 見(jiàn)解析

【解析】本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的判定定理與面面平行的判定定理的應(yīng)用，著重考查分析推理能力與表達(dá)、運(yùn)算能力，屬于中檔題．

（1）設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，從而B(niǎo)D⊥OE，即OE是BD的垂直平分線，問(wèn)題解決；

（2）證法一：取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，MN，易證MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可證得平面DMN∥平面BEC，又DM平面DMN，于是DM∥平面BEC；

證法二：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF，易證AB= AF，D為線段AF的中點(diǎn)，連接DM，則DM∥EF，由線面平行的判定定理即可證得結(jié)論．

(I)設(shè)中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由知，，…………2分

又已知，所以平面OCE. …………４分

所以，即OE是BD的垂直平分線，

所以.…………６分

(II)取AB中點(diǎn)N，連接，

∵M是AE的中點(diǎn)，∴∥，…………８分

∵△是等邊三角形，∴.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，

所以ND∥BC，…………1０分

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分