Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx；
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁、x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）這個方程為絕對值方程，可以利用絕對值的代數意義去絕對值符號，再分情況解一元二次方程即可，最后方程的解集為兩種情況的并集．
（Ⅱ）先根據絕對值的代數意義，把函數f（x）化為分段函數，根據函數在（0，1）上的解析式為一次函數，可判斷，當x∈（0，1]時，f（x）為單調函數，所以與x軸的交點至多有一個，即f（x）=0在（0，1]上至多一個解．而當方程f（x）=0的兩個解若都在（1，2）上，則x₁x₂=-

1

2

，與兩根都屬于（1，2）矛盾，所以判斷方程f（x）=0在（0，2）上的兩個解x₁、x₂，一個在（0，1]，一個在（1，2）再根據兩種情況的解析式求出k值，解出范圍，最后，兩種情況求出的k的范圍取交集．

解答：（I）解：當k=2時，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0．
①當x²-1≥1時，即x≥1或x≤-1時，方程化為2x²+2x-1=0，解得x=

-1± 3

2

．因為0＜

-1+ 3

2

＜1，舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②當x²-1＜0時，即-1＜x＜1，方程化為1+2x=0，解得x=-

1

2

，
由①②得，方程f（x）=0的解為x=

-1- 3

2

或x=

1

2

（II）解：不妨設0＜x₁＜x₂＜2，
因為f（x）=

2x2+kx-1    |x|＞1 kx+1           x|≤1

所以f（x）在（0，1]是單調遞函數，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，
若x₁，x₂∈（1，2），則x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符合題意，因此，x1∈(0，1]，x2∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1．
故當-

7

2

＜k＜-1時，f（x）=0在（0，2）上有兩個解．

點評：本題主要考查了含絕對值的方程的解法，以及方程根的判斷，做題時要善于借助函數的單調性與韋達定理．