某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中、是過拋物線焦點的兩條弦，且其焦點，，點為軸上一點，記，其中為銳角．

(1)求拋物線方程；
(2)求證：．

(1)；(2)證明見解析

解析試題分析：(1)拋物線焦點在軸上，其標準方程為，其中焦點坐標為，故，，因此拋物線方程為；(2)實質(zhì)上是要求的長，為此我們設(shè)，則點坐標為，利用點在拋物線上，代入可得出關(guān)于的二次方程，解方程求出線段長應(yīng)該為正，故有，得證.
試題解析：（1）由拋物線焦點得,拋物線方程為
（2）設(shè)，則點
所以，，既

解得:
同理：


“蝴蝶形圖案”的面積
令, 
則, 時,即“蝴蝶形圖案”的面積為8.
考點：(1)拋物線的標準方程；(2)圓錐曲線綜合問題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

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給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

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（13分）如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設(shè)計的拱寬是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

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已知圓及定點，點是圓上的動點，點在上，且滿足，點的軌跡為曲線。
（1）求曲線的方程；
（2）若點關(guān)于直線的對稱點在曲線上，求的取值范圍。

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已知圓錐曲線的兩個焦點坐標是，且離心率為；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點，使，求的值．

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已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且L與的兩個焦點A和B滿足（其中O為原點），求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點,離心率,右焦點為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的上頂點為,在橢圓上是否存在點,使得向量與共線?若存在,求直線的方程;若不存在,簡要說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線y2=－x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點.
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當DAOB的面積等于時，求k的值. 

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