Question

在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A，B的坐標分別為A（-3，0），B（3，0），△ABC的周長為16，
（Ⅰ）求頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點A作直線，與（Ⅰ）中的曲線交于M，N兩點，試判斷是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|CA|+|CB|=10為定值，
所以C點的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，焦距2c=6，
設橢圓為方程，且2a=10，
易得a=5，c=3，b=4，
所以C點的軌跡方程為。
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
當直線MN的傾斜角不為90°時，設其方程為y=k（x+3）（k≠0），
代入橢圓方程化簡，得，
顯然有，
又，
同理，
所以

，
只要考慮的最小值，即考慮取最小值，
而k≠0，所以上式無最小值，
顯然k=0時，取最小值16；
當直線MN的傾斜角為90°時，x₁=x₂=-3，
得；
∴的最小值不存在。