Question

【題目】（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，

, 平面， 分別是的中點。

（1）證明： ；

（2）若為上的動點，與平面所成最大角

的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：(1)由已知條件推導(dǎo)出， ，由線面垂直得，由此證明

(2)設(shè)為上任意一點，連接、，由平面，得為與平面所成的角，過作于，連接，由已知條件得為二面角的平面角，由此求出二面角的余弦值.

試題解析：(1)證明：由四邊形為菱形， ，可得為正三角形。

因為為BC的中點，所以,又,因此，

因為， 平面，所以，

而，所以

（2）設(shè)為上任意一點，連接、

由（1）知，

則為與平面所成的角，在中， ,

所以當(dāng)最短時， 最大，即當(dāng)時， 最大，

此時,此時，又，

所以 =45，于是

因為平面， 平面，所以平面平面，

過作于，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知: 平面,

所以，過過作于，連接， 平面，

所以,則為二面角的平面角，

在中， ，

又是的中點， ,

且

在中， ，

又=,

在中， ==

即二面角的余弦值為