Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+2x-a與g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]
• B． [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，e²-2]
• C． （1，e²-2]
• D． [e²-2，+∞）

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=x²+2x-a與g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，x²-2lnx=a（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有兩個(gè)根，令g（x）=x²-2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x²+2x-a與g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則x²-2lnx=a（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有兩個(gè)根，
令g（x）=x²-2lnx，
則g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x＜1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）=x²-2lnx為減函數(shù)，
當(dāng)1＜x≤e時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）=x²-2lnx為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=x²-2lnx取最小值1，
又由g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，g（e）=e²-2，
$\frac{1}{{e}^{2}}$+2＜e²-2，
故a∈（1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，難度中檔．