Question

14．若點P在y=x²上，點Q在x²+（y-3）²=1上，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{\sqrt{11}}{2}$-1
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$-1

Answer 1

分析 求得圓心圓心A（0，3），半徑為1，設(shè)P（x，x²），丨PQ丨=丨AP丨-丨AQ丨=$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-3）^{2}}-1$=$\sqrt{（{x}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$，由二次的性質(zhì)即可求得|PQ|的最小值．

解答 解：圓x²+（y-3）²=1的圓心A（0，3），半徑為1，
∵點P在拋物線y=x²上，設(shè)P（x，x²），
∴丨PQ丨=丨AP丨-丨AQ丨=$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-3）^{2}}-1$=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}+9}$-1=$\sqrt{（{x}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x²=$\frac{5}{2}$時，丨PQ丨取最小值，最小值為：$\frac{\sqrt{11}}{2}$-1，
故選B．

點評 本題考查圓的方程與拋物線的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．