Question

7．如圖所示，點A、B是圓O上的兩點，∠AOB=60°，點D是圓O上異于A，B的任意一點，若$\overrightarrow{OD}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，則μ+λ的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 可分別以直線OB，和OB的垂線為x，y軸，建立坐標(biāo)系，并設(shè)圓半徑為1，從而可得出A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0），設(shè)D（x，y），從而由條件可得到$（x，y）=（\frac{1}{2}μ+λ，\frac{\sqrt{3}}{2}μ）$．從而有$（\frac{1}{2}μ+λ）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}μ）^{2}=1$，整理后可得μ²+λ²+μλ=1，這樣由基本不等式即可得出μ+λ的范圍，從而得出其最大值．

解答 解：以O(shè)B所在直線為x軸，OB的垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓O半徑為1，則：
A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0），設(shè)D（x，y）；
$\overrightarrow{OD}=μ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$；
∴$（x，y）=（\frac{1}{2}μ+λ，\frac{\sqrt{3}}{2}μ）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}μ+λ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}μ}\end{array}\right.$；
∵x²+y²=1；
∴$（\frac{1}{2}μ+λ）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}μ）^{2}=1$；
∴μ²+λ²+μλ=1；
∴（μ+λ）²-μλ=1；
∴$（μ+λ）^{2}-1=μλ≤（\frac{μ+λ}{2}）^{2}$；
∴$（μ+λ）^{2}≤\frac{4}{3}$；
∴$-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤μ+λ≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴μ+λ的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上的點的坐標(biāo)，向量加法的坐標(biāo)運算，以及基本不等式用于求最值．