Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=1﹣ ．

當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ （x＞0），

因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），

即x+y﹣2=0

（2）解：由f′（x）=1﹣ = ，x＞0知：

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；

②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=a．

又當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．

從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無(wú)極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無(wú)極大值

【解析】（1）把a(bǔ)=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)直線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)a＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．