Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）設(shè)△AOB的外接圓圓心為E．
（1）若⊙E與直線CD相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，試問(wèn)這樣的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△AOB為等腰直角三角形，算出它的圓心為E（

1

2

a，

1

2

a），半徑r=

2

2

a．求出直線CD的方程，根據(jù)⊙E與CD相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a的等式，解之即可得出實(shí)數(shù)a的值；
（2）由|CD|=4

2

與△PCD的面積等于12，算出P到直線CD的距離為d=3

2

．若滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，說(shuō)明與CD平行且與CD距離為3

2

的兩直線中的一條與⊙E相切且另一條與⊙E相交．由此算出⊙E的半徑，進(jìn)而算出實(shí)數(shù)a的值，得到滿足條件的⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵C（-4，0）、D（0，4），
∴直線CD方程為

x

-4

+

y

4

=1．化簡(jiǎn)得x-y+4=0．
又∵△AOB的外接圓圓心為E（

1

2

a，

1

2

a），半徑r=

2

2

a．
∴由⊙E與直線CD相切，得圓心E到直線CD的距離等于半徑，
即

| 1 2 a- 1 2 a+4|

2

=

2

2

a，即2

2

=

2

2

a，解之得a=4；
（2）C（-4，0）、D（0，4），可得|CD|=

(-4-0)2+(0-4)2

=4

2

，
設(shè)P到直線CD的距離為d，可得△PCD的面積S=

1

2

|CD|×d=12，
即

1

2

×4

2

×d=12，解之得d=3

2

．
因此，只須與CD平行且與CD距離為3

2

的兩條直線中的一條與⊙E相切，
另一條與⊙E相交．
∵由（1）的計(jì)算，可知圓心E到直線CD距離為2

2

，
∴圓E的半徑為2

2

+3

2

=5

2

，即r=

2

2

a=5

2

，解得a=10．
即存在a=10，滿足使△PCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-5）²+（y-5）²=50．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形AOB的外接圓與直線CD，探究直線與圓的位置關(guān)系．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．