Question

銳角三角形ABC中，若A=2B，則下列敘述正確的是（　�。�
①sin3B=sin2C；  
②tan

3B

2

tan

C

2

=1； 
③

π

6

＜B＜

π

4

； 
④

a

b

∈（

2

，

3

]．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、④①

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：依題意，可得C=π-3B，利用二倍角的正弦、誘導(dǎo)公式、銳角三角形的性質(zhì)及正弦定理與余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答： 解：∵銳角三角形ABC中，A=2B，
∴C=π-（B+2B）=π-3B，
∴sinC=sin（π-3B）=sin3B，故①錯(cuò)誤；
∴tan

3B

2

tan

C

2

=tan

π-C

2

tan

C

2

=cot

C

2

tan

C

2

=1，故②正確；
又△ABC為銳角三角形，
∴

0＜B＜ π 2 0＜2B＜ π 2 0＜π-3B＜ π 2

，解得：

π

6

＜B＜

π

4

，故③正確； 
∵

π

6

＜B＜

π

4

，∴

2

2

＜cosB＜

3

2

由正弦定理可得，

a

b

=

sin2B

sinB

=2cosB∈（

2

，

3

），故④錯(cuò)誤；
綜上所述，敘述正確的是②③，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查二倍角公式與誘導(dǎo)公式及正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．