Question

設拋物線C：y²=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點，若|AF|=3|BF|，則|AB|等于（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  16

  3

• C、3
• D、

  17

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，可得拋物線焦點為F（1，0），由此設直線l方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)解消去x，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系和|AF|=3|BF|，建立關于y₁、y₂和k的方程組，解之可得k值，即可求出|AB|．

解答： 解：∵拋物線C方程為y²=4x，可得它的焦點為F（1，0），
∴設直線l方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程消去x，得

k

4

y2-y-k=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4…（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入（*）得-2y₂=

4

k

且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±

3

∴|AB|=

1+ 1 3

×

16 3 +16

=

16

3

．
故選：B．

點評：本題給出拋物線的焦點弦AB被焦點F分成1：3的兩部分，求|AB|，著重考查了拋物線的標準方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．