Question

8．已知數(shù)列{a_n-4}是首項(xiàng)為1，公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N⁺，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為[2，3]．

Answer 1

分析 由已知求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出其前n項(xiàng)和，代入（S_n-4n），然后對(duì)n為奇數(shù)后偶數(shù)分類求出（S_n-4n）的范圍，由p•（S_n-4n）∈[1，3]得到關(guān)于p的不等式組，求出p的范圍后取交集得答案．

解答 解：∵數(shù)列{a_n-4}是首項(xiàng)為1，公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-4=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，則${a}_{n}=4+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
則S_n=a₁+a₂+…+a_n=$4n+\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1+\frac{1}{2}}$=$4n+\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
（S_n-4n）=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
由p•（S_n-4n）∈[1，3]，得1≤$\frac{2p}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，
∵$1-（-\frac{1}{2}）^{n}$＞0，
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}≤\frac{2p}{3}≤\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}=\frac{1}{1+（\frac{1}{2}）^{n}}$隨n的增大而遞增，且0＜$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＜1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}=\frac{1}{1-（\frac{1}{2}）^{n}}$隨n的增大而遞減，且$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＞1，
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值為$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的小值為2．
由$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}≤\frac{2p}{3}≤\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，得$\frac{4}{3}≤\frac{2p}{3}≤2$，
解得2≤p≤3，
∴所求實(shí)p的取值范圍是[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中高檔題．