Question

【題目】已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)P是準(zhǔn)線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)PF交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是m(m≠0),點(diǎn)D為準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn).

(1)若m=2,求△DAB的面積;

(2)設(shè)=λ=μ,求證:λ+μ為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

⑴代入，求出直線(xiàn)的斜率，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程求出的長(zhǎng)度，然后求出高，就可以得到面積

⑵==，變化為坐標(biāo)表示式，從中求出參數(shù)、，用兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，即可得證

(1)解由題知點(diǎn)P,F的坐標(biāo)分別為(-1,2),(1,0),于是直線(xiàn)PF的斜率為1,

所以直線(xiàn)PF的方程為y=-(x-1).

設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得x2-6x+1=0,

所以x1+x2=6,x1x2=1,

于是|AB|=x1+x2+2=8.

點(diǎn)D到直線(xiàn)x+y-1=0的距離d=,

所以S=×8×=4.

(2)證明由直線(xiàn)y=-(x-1),與拋物線(xiàn)聯(lián)立得m2x2-(2m2+16)x+m2=0,

所以x1+x2=,x1x2=1.

因?yàn)?/span>=λ=μ,

所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),(-1-x1,m-y1)=μ(x2+1,y2-m),

于是λ=,μ=(x2≠±1).

所以λ+μ=

==0.