【題目】在平面直角坐標系中,已知圓,圓.
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)圓是以1為半徑,圓心在圓:上移動的動圓 ,若圓上任意一點分別作圓 的兩條切線,切點為,求的取值范圍;
(3)若動圓同時平分圓的周長、圓的周長,則動圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.
【答案】(1)或(2)(3)所求的定點坐標為
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)直線l的方程為y=k(+1),根據(jù)直線l被圓C2截得的弦長為,利用勾股定理,求出k,即可求直線l的方程;(Ⅱ)動圓D是圓心在定圓上移動,半徑為1的圓,由圓的幾何性質(zhì)得,|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r,即2≤|PC1|≤4,4≤|PC1|2≤16,利用向量的數(shù)量積公式,即可求
的取值范圍;(Ⅲ)確定動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動,求出動圓C的方程,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)設(shè)直線的方程為,即. 因為直線被圓截得的弦長為,而圓的半徑為1,所以圓心到:的距離為.化簡,得,解得或.所以直線的方程為或.
(2) 動圓D是圓心在定圓上移動,半徑為1的圓
設(shè),則在中,,
有,則
由圓的幾何性質(zhì)得,,即,
則的最大值為,最小值為. 故
(3)設(shè)圓心C(x,y),由題意得CC1=CC2,
即,整理得x+y-3=0,即圓心C在定直線x+y-3=0上運動.
設(shè)C(m,3-m),
則動圓的半徑,
于是動圓C的方程為(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,
整理得:x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0.
由,
解得或,
即所求的定點坐標為
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【題目】如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號)。
①當時,S為四邊形
②當時,S為等腰梯形
③當時,S與的交點R滿足
④當時,S為六邊形
⑤當時,S的面積為
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【題目】設(shè)、分別為橢圓:的左、右兩個焦點.
(Ⅰ)若橢圓上的點到、兩點的距離之和等于6,寫出橢圓的方程和焦點坐標;
(Ⅱ)設(shè)點是(1)中所得橢圓上的動點,求線段的中點M的軌跡方程.
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【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)),.
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)設(shè),其中為的導函數(shù),證明:對任意,.
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【題目】正方體的棱長為1,分別是棱,的中點,過直線的平面分別與棱、交于,設(shè),,給出以下四個命題:
①四邊形為平行四邊形;
②若四邊形面積,,則有最小值;
③若四棱錐的體積,,則為常函數(shù);
④若多面體的體積,,則為單調(diào)函數(shù).
其中假命題為( )
A. ① ③ B. ② C. ③④ D. ④
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【題目】已知函數(shù)()是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知圓,圓.
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)圓是以1為半徑,圓心在圓:上移動的動圓 ,若圓上任意一點分別作圓 的兩條切線,切點為,求的取值范圍;
(3)若動圓同時平分圓的周長、圓的周長,則動圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.
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【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足:,當時,.
(1)求證:為奇函數(shù);
(2)求證:為上的增函數(shù);
(3)解關(guān)于的不等式:.(其中且為常數(shù)).
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【題目】某高校在2016年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布如圖所示.
(1)請先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù),再畫出頻率分布直方圖;
(2)該高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受考官的面試,求第4組至少有一名學生被考官面試的概率?
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