【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵直三棱柱的底面三邊長分別為3、4、5,∴AC,BC,CC1兩兩垂直,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA,CB,CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),
D .
∵ ,∴ ,即AC⊥BC1
(2)證明:設(shè)CB1∩C1B=E,則E(0,2,2), ,
∴ ,即DE∥AC1,∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1
(3)解: = ,設(shè)平面CDB1的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),則 ,則 ,
可求得平面CDB1的一個(gè)法向量為 =(4,﹣3,3).
取平面CDB的一個(gè)法向量為 ,
則 = = = .
由圖可知,二面角B﹣DC﹣B1的余弦值為 .
【解析】(1)直三棱柱的底面三邊長分別為3、4、5,∴AC,BC,CC1兩兩垂直,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA,CB,CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.只要證明 ,即可證明AC⊥BC1 . (2)設(shè)CB1∩C1B=E,則E(0,2,2),可得 ,即DE∥AC1 , 即可證明AC1∥平面CDB1 . (3)設(shè)平面CDB1的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),則 ,可求得平面CDB1的一個(gè)法向量為 .取平面CDB的一個(gè)法向量為 ,利用 = 即可得出.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲(水生植物名)生一日,長三尺;莞(植物名,俗稱水蔥、席子草)生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是:今有蒲生長1日,長為3尺;莞生長1日,長為1尺.蒲的生長逐日減半,莞的生長逐日增加1倍.若蒲、莞長度相等,則所需的時(shí)間約為( )(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):,)( )
A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為,且直線與圓相交于不同的, 兩點(diǎn).
(1)求線段垂直平分線的極坐標(biāo)方程;
(2)若,求過點(diǎn)與圓相切的切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱中,側(cè)面為矩形, , , 是的中點(diǎn), 與交于點(diǎn),且平面.
(1)證明:平面平面;
(2)若, 的重心為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=e1+|x|﹣ ,則使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范圍是( )
A.
B.
C.(﹣ , )
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, 分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列, , 的前項(xiàng)和為.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,有,且是函數(shù)的零點(diǎn).
(1)求的值;
(2)若數(shù)列公差為,且點(diǎn),當(dāng)時(shí)所有點(diǎn)都在指數(shù)函數(shù)的圖象上.
請你求出解析式,并證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí),能租出多少輛車?
(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:不等式2x﹣x2<m對一切實(shí)數(shù)x恒成立,命題q:m2﹣2m﹣3≥0,如果¬p與“p∧q”同時(shí)為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC= ,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為( )
A.
B.
C.
D.
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