Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若無(wú)極大值點(diǎn)，有唯一的一個(gè)極小值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （2）或；

（3）見解析

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；

（2）設(shè)，則，則或或，討論和0的大小關(guān)系，由的單調(diào)性及最值，分析時(shí)是否有三個(gè)根即可；

（3）由題意可知，令，即在內(nèi)有唯一的一個(gè)正根，由求根公式得方程兩個(gè)根，因?yàn)橹荒苡幸粋�(gè)正跟，從而得，所以，由，得，代入，求導(dǎo)利用單調(diào)性即可證得.

（1）當(dāng)時(shí)，，

.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)，則，則或或，

.

當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上為增函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，，則的零點(diǎn)有3個(gè)，符合題意.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)時(shí)，若，則；若時(shí)，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又且時(shí)，；時(shí)，，

所以或或要有三個(gè)零點(diǎn)，則

即，所以

綜上所述，或.

（3）

.

因?yàn)?/span>在無(wú)極大值點(diǎn)，有唯一的一個(gè)極小值點(diǎn)

即，即在內(nèi)有唯一的一個(gè)正根.

所以，即

又，，

又因?yàn)橹挥形ㄒ坏囊粋�(gè)正根，所以即.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

此時(shí)無(wú)極大值，有唯一一個(gè)極小值點(diǎn)，

所以，所以

所以

所以

.

所以在上單調(diào)遞減，所以

綜上，.