Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-log_ax（a＞0），若使f（x）恒有兩個零點，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：函數(shù)y=a^x與y=log_ax關于y=x對稱，只需要討論與y=x有兩個解即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=a^x-x，只須h（x）的最小值小于0，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=a^x-log_ax（a＞0），使f（x）恒有兩個零點，
∴f（x）=a^x-log_ax=0，
即a^x=log_ax，
由于函數(shù)y=a^x與y=log_ax關于y=x對稱，
只需要討論與y=x有兩個解即可，
令h（x）=a^x-x，則函數(shù)h（x）有兩個零點，
當0＜a＜1時，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，至多有一個零點不滿足要求，
當a＞1時，令h′（x）=a^xlna-1=0，則x=loga

1

lna

，
當0＜x＜loga

1

lna

時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
當x＞loga

1

lna

時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
故當x=loga

1

lna

時，函數(shù)h（x）取最小值，
若函數(shù)h（x）有兩個零點，則h（loga

1

lna

）＜0，
即aloga

1

lna

＜loga

1

lna

即

1

lna

=log_ae＜loga

1

lna

，
即e＜

1

lna

，
即0＜lna＜

1

e

，
即1＜a＜e

1

e

，
故實數(shù)a的取值范圍是（1，e

1

e

），
故答案為：（1，e

1

e

）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，反函數(shù)，導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)法求函數(shù)的最值，對數(shù)的運算性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，函數(shù)零點，導數(shù)等的綜合應用，運算量大，綜合性可，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．