Question

已知函數(shù)f（x）=

x

2

+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=-x+2平行，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞-2成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件得f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值．
（Ⅱ）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由導數(shù)性質(zhì)得f（x）在區(qū)間（

2

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，

2

a

）上單調(diào)減，x=

2

a

時，函數(shù)f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

2

+alnx-2（a＞0），
∴f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=-x+2平行，
∴f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，∴a=1，
∴f（x）=

2

x

+lnx-2，f′(x)=

x-2

x2

，令f′（x）=0，x=2，
由f′（x）＞0，解得x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2），
∴f（x）的極小值為f（2）=ln2-1．
（Ⅱ）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，
由f′（x）＞0解得x＞

2

a

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

a

，
∴f（x）在區(qū)間（

2

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，

2

a

）上單調(diào)減，
∴當x=

2

a

時，函數(shù)f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)，
∵對于?x∈（0，+∞），都有f（x）＞-2成立，
∴f（

2

a

）＞-2即可，
則

2

2 a

+aln

2

a

-2＞-2，則a+aln

2

a

＞0，
解得0＜a＜2e，
∴a的取值范圍是（0，2e）．

點評：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．