Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為

3

直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為M，過(guò)M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OFMN的面積為4

3

．
（1）求拋物線的方程；
（2）若P，Q是拋物線上異于原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，且以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并指出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），知過(guò)F且斜率為

3

直線方程為y=

3

(x-

p

2

)，聯(lián)立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，解得M（

3

2

p，

3

p），由此能求出拋物線的方程．
（2）①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=x₀，x₀＞0，則x₀=2

x0

，解得x₀=4，直線PQ過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，假設(shè)直線直線PQ過(guò)定點(diǎn)（4，0），則設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-4），由此入手能夠證明直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）．

解答：（1）解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），
∴過(guò)F且斜率為

3

直線方程為y=

3

(x-

p

2

)，
聯(lián)立

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

，得12x²-20px+3p²=0，
解得x=

3

2

p，或x=

p

6

，
∵直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為M，
∴M（

3

2

p，

3

p），
∵過(guò)M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OFMN的面積為4

3

，
∴

1

2

(

p

2

+

3p

2

)×

3

p=4

3

，解得p=2，
∴拋物線的方程y²=4x．
（2）證明：①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=x₀，x₀＞0，
則x₀=2

x0

，解得x₀=4，直線PQ過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，假設(shè)直線直線PQ過(guò)定點(diǎn)（4，0），則設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-4），
聯(lián)立

y2=4x y=k(x-4)

，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=8+

4

k2

，x₁x₂=16，
∴y₁+y₂=k（x₁-4）+k（x₂-4）=k（8+

4

k2

）-8k=

4

k

，
y₁y₂=k（x₁-4）•k（x₂-4）
=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=k²[16-4（8+

4

k2

）+16]=-16．
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(8+ 4 k2 )2-4×16+( 4 k )2-4×(-16)

=2

4 k4 + 20 k2 +16

．
∵線段PQ的中點(diǎn)A（4+

2

k2

，

2

k

），
∴|AO|=

(4+ 2 k2 )2+( 2 k )2

=

4 k4 + 20 k2 +16

．
∴以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O．
即假設(shè)成立，故直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程恒過(guò)定點(diǎn)的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．