Question

要測(cè)定古物的年代，常用碳的放射性同位素¹⁴C的衰減來(lái)測(cè)定：在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的¹⁴C，動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，¹⁴C不再產(chǎn)生，且原有的¹⁴C含量的衰變經(jīng)過(guò)5570年（¹⁴C的半衰期），它的殘余量只有原始量的一半．若¹⁴C的原始含量為a，則經(jīng)過(guò)x年后的殘余量a′與a之間滿足a′=a•e^-kx．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸中¹⁴C的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代（精確到100年）．

Answer 1

解：（1）由題意可知，當(dāng)x=5570時(shí)，，
∵a′=a•e^-kx，∴=e^-5570k，
∴k=．
（2）∵古墓中女尸¹⁴C的殘余量約占原始含量的76.7%，
∴，即0.767=，
解得x≈2132．
∴由此可推測(cè)古墓約是2100多年前的遺址．
分析：（1）根據(jù)a′=a•e^-kx，原有的¹⁴C含量的衰變經(jīng)過(guò)5570年（¹⁴C的半衰期），它的殘余量只有原始量的一半，建立等式，可求實(shí)數(shù)k的值；
（2）古墓中女尸¹⁴C的殘余量約占原始含量的76.7%，建立方程，可推算馬王堆古墓的年代．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．