Question

已知函數(shù)（，），．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定其零點個數(shù)；
（2）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（3）證明不等式 （）．

Answer 1

（1）當(dāng)時，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個零點；當(dāng)時，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個零點．
（2）；（3）祥見解析．

解析試題分析：（1）首先求出已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后由導(dǎo)數(shù)為正（為負(fù)）求得函數(shù)的增（減）區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就可求得函數(shù)的零點的個數(shù)；注意分類討論；（2）由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知，恒成立，從而就可利用二次函數(shù)的圖象來求得字母的取值范圍；或者分離參數(shù)將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來加以解決；（3）觀察所證不等式左右兩邊，聯(lián)想已知的函數(shù)，由（2）可知 當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，即 令 ， 則 即:，然后再令n=1，2，3，…，n得到n個式子，將這n個式子相加就可得到所證不等式．
試題解析：（1）         1分
則
       …2分
（i）若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以 為的增區(qū)間，為的減區(qū)間．    3分
極大值為
所以只有一個零點．
（ii）若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以 為的減區(qū)間，為的增區(qū)間．
極小值為      4分
所以只有一個零點．
綜上所述，
當(dāng)時，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個零點；
當(dāng)時，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，